\section{1.4. Coherent sheaves of D-modules} 
\begin{frame}[allowframebreaks]{1.4. }

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1.4. $\mathcal{D}$-modules. 

(1) A $\mathcal{D}$-module $M$ on $X$ is by definition a $\mathcal{D}_X$-module, i.e. a sheaf $M$ on $X$ such that $M(Y)$ is a $\mathcal{D}(Y)$-module for $Y \subset X$ open, with the usual compatibility with respect to restrictions. 

(2) Let $\mathrm{Mod}(\mathcal{D}_X)$ be the category of all $\mathcal{D}_X$-modules. 


(3) Most of the time, we shall consider only $\mathcal{D}$-modules which are {\color{red}quasi-coherent} as $\mathcal{O}_X$-modules. 

(4) We let $\mu(\mathcal{D}_X)$ be the category of such $\mathcal{D}$-modules. 

(5) A $\mathcal{D}$-module $M$ is said to be {\color{red}coherent} if it is locally so, i.e. if every $x \in X$ has an affine neighborhood $Y$ on which $M(Y)$ is a coherent $\mathcal{D}(Y)$ module, which amounts to require the existence of an exact sequence:
\begin{equation}
\mathcal{D}(Y)^q \to \mathcal{D}(Y)^p \to M(Y) \to 0.
\end{equation}

(6) We let $\mathrm{coh}(\mathcal{D}_X)$ be the full subcategory of $\mu(\mathcal{D}_X)$ consisting of {\color{red}coherent} $\mathcal{D}$-modules. 

(7) We shall soon see that $\mathcal{D}_X$ is {\color{red}coherent} and {\color{red}locally noetherian} (1.9). 

(8) Therefore $M$ is {\color{red}coherent} if and only if it is {\color{red}locally finitely generated}.

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{\color{red}Notebook.}

1. 请一句句解释，必要时给出证明或例子。

2. What is the difference between locally finitely generated and finitely generated?


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我们逐句解释 1.4 节关于 $\mathcal{D}$-模（D-modules）的定义和基本范畴性质，并在必要时补充说明、例子或简要论证。

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{\color{red}
(1) A $\mathcal{D}$-module $M$ on $X$ is by definition a $\mathcal{D}_X$-module, i.e. a sheaf $M$ on $X$ such that $M(Y)$ is a $\mathcal{D}(Y)$-module for $Y \subset X$ open, with the usual compatibility with respect to restrictions.
}

解释：一个 $\mathcal{D}$-模就是 $\mathcal{D}_X$-模，即一个层 $M$，使得对每个开集 $Y \subseteq X$，$M(Y)$ 是一个 $\mathcal{D}(Y)$-模（即微分算子作用在截面上），并且限制映射与模结构相容：

若 $V \subseteq U$ 是开集包含，则限制映射 $\rho_{UV}: M(U) \to M(V)$ 满足：
  $$
  \rho_{UV}(P \cdot s) = P|_V \cdot \rho_{UV}(s), \quad \forall P \in \mathcal{D}(U),\ s \in M(U).
  $$

这与 $\mathcal{O}_X$-模的定义完全平行，只是将结构层 $\mathcal{O}_X$ 换成更大的环层 $\mathcal{D}_X$。

例子：

$\mathcal{O}_X$ 本身是一个 $\mathcal{D}_X$-模：微分算子作用于函数（例如 $\partial \cdot f = \partial(f)$）。

更一般地，任何 $\mathcal{O}_X$-模若带有微分算子作用（如平坦联络），可成为 $\mathcal{D}_X$-模。

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{\color{red}
(2) Let $\mathrm{Mod}(\mathcal{D}_X)$ be the category of all $\mathcal{D}_X$-modules.
}

解释：这是所有 $\mathcal{D}_X$-模构成的范畴，态射是 $\mathcal{D}_X$-线性层态射（即与 $\mathcal{D}_X$ 作用交换的层映射）。

这个范畴非常大，包含很多“病态”对象（如非拟凝聚模），因此通常我们考虑子范畴。


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{\color{red}
(3) Most of the time, we shall consider only $\mathcal{D}$-modules which are {\color{red}quasi-coherent} as $\mathcal{O}_X$-modules.
}

解释：虽然 $\mathcal{D}_X$-模自然带有 $\mathcal{O}_X$-模结构（因为 $\mathcal{O}_X \hookrightarrow \mathcal{D}_X$），但我们通常要求这个 $\mathcal{O}_X$-模是``拟凝聚''的。

为什么？
拟凝聚性是代数几何中“良好行为”的基本条件（如与仿射开集上的模对应）。
微分算子作用保持拟凝聚性（在光滑情形下）。
非拟凝聚的 $\mathcal{D}$-模在几何上难以控制。
正例：  
$\mathcal{O}_X$ 是凝聚 $\mathcal{O}_X$-模，也是凝聚  $\mathcal{D}_X$-模。

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正例：若 $x\in X$ 是闭点，$i:x\hookrightarrow X$ 是闭浸入，则 Skyscraper 层 $i_* \mathbb{C}$ 是凝聚 $\mathcal{O}_X$-模，但不能直接作为 $\mathcal{D}_X$-模。

在仿射开集 $U = \mathrm{Spec}\, A$ 包含 $x$ 时，对应理想为 $\mathfrak{m} \subset A$（极大理想），则
$
(i_* k(x))(U) = A / \mathfrak{m}, 
$
这是一个有限生成 $A$-模，所以对应的层是凝聚 $\mathcal{O}_X$-模。

在 D-模理论中，我们一般只考虑``拟凝聚 $\mathcal{O}_X$-模''的 $\mathcal{D}_X$-模。

Skyscraper 层如果能赋予 $\mathcal{D}_X$-结构，如 delta 模 $\delta_x = \mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X \cdot \mathfrak{m}_x$, 那么它是凝聚 $\mathcal{D}_X$-模，属于 $\mathrm{coh}(\mathcal{D}_X)$，是合法且重要的对象。


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反例：

常值层 $\underline{\mathbb{Q}}$（或 $\underline{\mathbb{C}}$）赋予平凡 $\mathcal{O}_X$-作用（$f \cdot s = 0$ 对所有 $f$ 且 $s$）。

这个层不是拟凝聚的，因为它在仿射开集上的截面不是有限生成模。

无限直和 $\bigoplus_{i=1}^\infty \mathcal{O}_X$ 是拟凝聚的。

无限直积 $\prod_{i=1}^\infty \mathcal{O}_X$ 通常不是拟凝聚的。



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{\color{red}
(4) We let $\mu(\mathcal{D}_X)$ be the category of such $\mathcal{D}$-modules.
}

解释：记号 $\mu(\mathcal{D}_X)$ 表示所有``作为 $\mathcal{O}_X$-模是拟凝聚''的 $\mathcal{D}_X$-模构成的满子范畴。

这是 D-模理论中``基本的工作范畴''。

注：有些文献用 $\mathrm{Mod}_{\mathrm{qc}}(\mathcal{D}_X)$ 或 $\mathrm{QCoh}(\mathcal{D}_X)$ 表示此范畴。

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{\color{red}
(5) A $\mathcal{D}$-module $M$ is said to be {\color{red}coherent} if it is locally so, i.e. if every $x \in X$ has an affine neighborhood $Y$ on which $M(Y)$ is a coherent $\mathcal{D}(Y)$ module, which amounts to require the existence of an exact sequence:
$
\mathcal{D}(Y)^q \to \mathcal{D}(Y)^p \to M(Y) \to 0.
$
}

解释：这是``凝聚 $\mathcal{D}$-模''的定义。``局部''指存在仿射开覆盖，使得在每个仿射开集 $Y$ 上，$M(Y)$ 是凝聚 $\mathcal{D}(Y)$-模。% Y = \mathrm{Spec}\, A

%2. 对于环 $R$，一个左 $R$-模 $N$ 是凝聚的，如果它是``有限生成''的，且每个有限生成子模的核也是有限生成的。等价地（当 $R$ 是左凝聚环时），存在正合列：$$ R^q \xrightarrow{\phi} R^p \to N \to 0. $$

关键前提：$\mathcal{D}(Y)$ 必须是``左凝聚环''（甚至左诺特环），否则``凝聚模''的定义不等价于``有限表示''。
在 $X$ 光滑时（这是 D-模理论的标准假设），$\mathcal{D}_X$ 是``左诺特''的，所以``凝聚'' $\mathcal{D}$-模就是``局部有限表示''的模。

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{\color{red}
(6) We let $\mathrm{coh}(\mathcal{D}_X)$ be the full subcategory of $\mu(\mathcal{D}_X)$ consisting of {\color{red}coherent} $\mathcal{D}$-modules. }

解释：$\mathrm{coh}(\mathcal{D}_X)$ 是所有``凝聚 $\mathcal{D}_X$-模''构成的范畴。注意：它是 $\mu(\mathcal{D}_X)$ 的满子范畴（即态射不变）。凝聚 $\mathcal{D}$-模自动是拟凝聚 $\mathcal{O}_X$-模（因为 $\mathcal{D}_X$ 是拟凝聚 $\mathcal{O}_X$-模，且凝聚 $\mathcal{D}$-模是有限生成的，故作为 $\mathcal{O}_X$-模是拟凝聚的）。

例子：(i) $\mathcal{O}_X$ 是凝聚 $\mathcal{D}_X$-模（因为局部上是 $\mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X \cdot \Theta_X$，或直接由生成关系）。(ii) 若 $Z \subset X$ 是光滑闭子簇，则 $\mathcal{O}_Z$ 可赋予自然 $\mathcal{D}_X$-模结构（通过延拓），且是凝聚的。 (iii) 解析函数层不是``代数 $\mathcal{D}$-模''，但代数函数层是。


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{\color{red}
(7) We shall soon see that $\mathcal{D}_X$ is {\color{red}coherent} and {\color{red}locally noetherian} (1.9).
}

解释：这是关键性质。

局部诺特性：对每个仿射开集 $Y \subset X$, $\mathcal{D}(Y)$ 是``左诺特环''（左理想都有限生成）。

凝聚性：作为环层，$\mathcal{D}_X$ 是``左凝聚环层''（即局部上是凝聚环）。

在 $X$ 光滑时，这是成立的。例如，当 $X = \mathbb{A}^n$，$\mathcal{D}(X) = \mathbb{A}_n$ 是``左、右诺特环''（外尔代数的基本性质）。
因此，在光滑代数簇上，$\mathcal{D}_X$ 的模理论具有良好的有限性。


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{\color{red}
(8) Therefore $M$ is {\color{red}coherent} if and only if it is {\color{red}locally finitely generated}.
}

解释：这是 (7) 的直接推论。

%一般地，对于左诺特环 $R$，一个左 $R$-模是凝聚的 $\Leftrightarrow$ 它是有限生成的。

因为在诺特环上，有限生成模的子模自动有限生成，所以``凝聚'' $\Leftrightarrow$ ``有限生成''。

在 $X$ 光滑时 $\mathcal{D}_X$ 局部是左诺特环，故``凝聚的 $\mathcal{D}_X$-模'' $\Leftrightarrow$ ``局部有限生成的 $\mathcal{D}_X$-模''。

注意：这里``局部''指存在仿射开覆盖 $\{U_i\}$，使得每个 $M(U_i)$ 是 $\mathcal{D}(U_i)$-有限生成模。


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范畴关系总结：我们有如下包含关系（满子范畴）：
$$
\mathrm{coh}(\mathcal{D}_X) \subset \mu(\mathcal{D}_X) \subset \mathrm{Mod}(\mathcal{D}_X)
$$

$\mathrm{Mod}(\mathcal{D}_X)$：所有 $\mathcal{D}_X$-模。

$\mu(\mathcal{D}_X)$：作为 $\mathcal{O}_X$-模拟凝聚的 $\mathcal{D}_X$-模。

$\mathrm{coh}(\mathcal{D}_X)$：凝聚 $\mathcal{D}_X$-模，是 D-模理论的核心对象（如 Riemann–Hilbert 对应）。


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附：为何要求 $\mathcal{O}_X$-拟凝聚？

虽然凝聚 $\mathcal{D}$-模自动是 $\mathcal{O}_X$-拟凝聚的，但中间范畴 $\mu(\mathcal{D}_X)$ 允许一些非凝聚但``几何良好''的模（如某些直接像）。

而完全不加限制的 $\mathrm{Mod}(\mathcal{D}_X)$ 包含太多病态对象（如带离散支撑的非拟凝聚层），难以建立对偶性、上同调理论等。


总结：1.4 节建立了 D-模的基本范畴框架，强调了``拟凝聚性''和``凝聚性''的重要性，并指出在光滑情形下，凝聚性等价于局部有限生成，这为后续理论（如滤过、特征簇、Riemann–Hilbert）奠定基础。


\end{frame}

